Tam Giác Trung

Năm 1997, trong giờ toán lớp 10, khi đang học bài phương pháp chứng minh quy nạp toán học, mình chợt nghĩ ra ý tưởng về một bài toán tính tổng của dãy số n^k (với n chạy từ 1 đến ∞, k là hằng số tự nhiên). Sau ba năm ấp ủ, mình mới phát hiện ra được công thức này. Sau đây mình chia sẻ với các bạn về quá trình tìm ra quy tắc trên:

Trong sách giáo khoa toán lớp 10, ta có bốn công thức tính tổng của các dãy số như sau:

1. ∑ n^0=1^0+2^0+...+n^0=n

2. ∑ n^1=1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2=n/2+n^2/2

3. ∑ n^2=1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6=n/6+n^2/2+n^3/3

4. ∑ n^3=1^3+2^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2=n^2/4+n^3/2+n^4/4

Cuối năm lớp 12, khi đang ôn thi đại học, mình tiếp tục tìm thấy công thức tính tổng của dãy n^4 trong cuốn sổ tay toán học:

5. ∑ n^4=1^4+2^4+...+n^4= -n/30+n^3/3+n^4/2+n^5/5

Từ năm công thức trên, mình lập một bảng số dựa vào những hệ số ở vế phải:

n^         1      2      3      4      5

k=0     1/1

k=1     1/2   1/2

k=2     1/6   1/2   1/3

k=3       0    1/4   1/2    1/4

k=4   -1/30   0     1/3    1/2   1/5

Sau đó mình quan sát và phát hiện ra một quy tắc lập bảng như sau:

Đặt i là chỉ số hàng, j là chỉ số cột.

1. Hệ số ở cột thứ nhất bằng một trừ tổng các số còn lại trên cùng một hàng: 

A(i,1) = 1 – ∑A(i,j)             (j >1)

2. Ngoại trừ các số ở cột thứ nhất, các số còn lại trên bảng bằng chỉ số hàng chia chỉ số cột rồi nhân số liền trước với nó trên đường chéo chính:

A(i,j) = (i/j)*A(i-1,j-1)        (j >1)

Ngày 07/07/2000, mình đã mở rộng bảng số và đặt tên là Tam Giác Trung.

TAM GIÁC TRUNG

n^         1      2      3      4      5      6      7      8      9      10     11

k=0     1/1

k=1     1/2   1/2

k=2     1/6   1/2   1/3

k=3       0    1/4   1/2    1/4

k=4   -1/30   0     1/3    1/2   1/5

k=5       0  -1/12    0    5/12  1/2   1/6

k=6  1/42    0   -1/6     0     1/2   1/2   1/7

k=7       0   1/12     0   -7/24   0   7/12  1/2  1/8

k=8   -1/30    0    2/9     0   -7/15    0    2/3  1/2   1/9

k=9       0   -3/20   0     1/2     0   -7/10   0   3/4   1/2    1/10

k=10   5/66    0   -1/2    0       1       0     -1    0     5/6     1/2    1/11

Bảng số này dùng để tính tổng của dãy số n^k. Từ đó, chúng ta có thể ứng dụng để tính tổng của dãy số có dạng là một đa thức bậc k, bởi hai phép toán:

∑αP(n) = α∑P(n)

∑[P(n) + Q(n)] = ∑P(n) + ∑Q(n)

Ngày xưa, Pascal đã lập một bảng số để khai triển hằng đẳng thức (a+b)^n. Đó là quy tắc “một số bất kỳ trong bảng bằng tổng của hai số ở hàng trên”. Ông đã đặt tên cho bảng số là Tam Giác Pascal.

Ngày nay, mình đã phát hiện ra một bảng số để tính ∑n^k. Nó rất phức tạp và khó tìm thấy. Mình đã đặt tên cho bảng số là Tam Giác Trung. Bài viết này mình đăng lần đầu tiên trên mạng vào ngày 6/6/2009, các bạn có thể tham khảo tại đây:
http://yume.vn/thieulam5782/article/phat-minh-moi-35B941EA.htm

                                       Tân Bình, ngày 07 tháng 07 năm 2014

                                                            Người viết

                                                       Nguyễn Hải Trung