Vi phân là gì? Sự khác nhau giữa vi phân và đạo hàm

1. Vi phân là gì?

Nhiều học sinh phổ thông tuy đã từng học qua vi phân và đã từng làm toán với nó, tuy nhiên thấy đa số các bạn chưa nắm rõ được khái niệm vi phân. Bài viết này mục đích giải thích rõ để các bạn dễ hiểu và dễ nhớ hơn về vi phân.

Vi phân (thuật ngữ tiếng Anh: differential) là một khái niệm cơ bản trong ngành toán giải tích. 

Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x)  có đạo hàm tại x₀. 
Gọi Δx là số gia của biến số tại x₀ (Δx = x - x₀). 
Tích f′(x₀) Δx được gọi là vi phân của hàm số f(x₀) ứng với số gia Δx (vi phân của f(x₀)). 
Ký hiệu vi phân tại x₀: df(x₀) = f′(x₀) Δx               (1)
Trong biểu thức (1), để khử Δx, ta xét trường hợp f(x) = x, khi đó: df = dx = (x)'.Δx = Δx.
Do đó ta thay Δx = dx và có: df(x₀) = f′(x₀) dx.

Nói tóm lại, vi phân của hàm số f(x) tại điểm x = x₀ ký hiệu là df(x₀) và có dạng: 

    df(x₀) = f′(x₀)dx           (2)

Ứng dụng: Vi phân thường được ứng dụng để tính giá trị gần đúng của một hàm số.

2. Đạo hàm là gì?

Đạo hàm thực chất là giới hạn của tỷ số Δy/Δx khi Δx tiến tới 0. Nếu giới hạn này tồn tại thì ta nói f(x) có đạo hàm tại x₀.

Ký hiệu f'(x₀)  là đạo hàm của f(x) tại x₀. Khi đó: 

$$f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$$

Khi ta nói một hàm số khả vi tại điểm nào đó, nghĩa là vi phân tại điểm đó tồn tại, tức là đạo hàm của hàm đó tại điểm đã cho cũng xác định.

3. Sự khác nhau giữa vi phân và đạo hàm

Rõ ràng vi phân được tính theo công thức (1), còn đạo hàm được tính theo công thức (2). Cả 2 về bản chất là khác nhau hoàn toàn. 

Tuy nhiên, như trên ta thấy, đạo hàm là cái có trước, còn vi phân là cái có sau đạo hàm. Vì nếu tại điểm x₀ không tồn tại f′(x₀) thì công thức df(x₀) = f′(x₀)dx không có nghĩa và do đó không tồn tại vi phân tại x₀ .