Sự khác nhau giữa đạo hàm và vi phân

Vi phân và đạo hàm khác nhau về bản chất, về đơn vị đo.. nói chung là khác biệt, vì chúng là hai phạm trù khác nhau.
 
Một hàm số dạng $y = f(x)$ , ta hiểu nó gồm hai đại lượng biến thiên:
* đại lượng x (gọi là biến số hoặc đối số) thuộc tập D (Domain : tập xác định)
* đại lương y = f(x) (gọi là giá trị hàm tại x) thuộc tập Y (tập giá trị, thường lấy trên R)
Hai tập D và Y đều là tập con của R nhưng đơn vị đo khác nhau, bản chất khác nhau và không nhất thiết phải cùng kiểu đơn vị đo.
 
* Đạo hàm: bản chất là tỉ số của hai đại lượng trên,
* Vi phân: để đơn giản ta có thể định nghĩa theo đạo hàm: df = f '(x).dx  Như vậy về bản chất vi phân df (hoặc dy) tương thích với giá trị hàm.

Lấy ví dụ dễ hiểu: 
Xét chuyển động của 1 chất điểm: sau khoảng thời gian t (giây), đi được quãng đường là s (met)
ta xét từ thời điểm to, chất điểm đi trong tgian ∆t = t-to được quãng đường là ∆s
khi đó tỉ số: ∆s/∆t khi ∆t --> 0 chính là vận tốc tưc thời tại đó
Lim (∆s/∆t) [khi ∆t-> 0] = v
thấy ngay: v = s'(t) = ds/dt đơn vị đo là m/s

Bây giờ nếu ta chia quãng đường đi thành những đoạn rất nhỏ, mỗi đoạn như vậy gọi là vi phân, kí hiệu là ds , ta có  $ds = s'.dt$ và như vậy đơn vị của vi phân ds là met

Cái bản chất khác nhau là chổ đó, đơn vị của vi phân chính là đơn vị đo của hàm, trong khi đạo hàm không có đơn vị (hoặc là tỉ số hai đơn vị)
 
Về ý nghĩa hình học, xét ví dụ sau:
Xét đường cong (C): y = f(x) , điểm Mo(xo, f(xo)) thuộc (C), đường thẳng d qua Mo cắt (C) tại điểm thứ 2 là M(x,f(x)).
Khi cho M --> Mo thì (d) thành tiếp tuyến của (C) tại Mo. Đạo hàm của f(x) tại xo chính là hệ số góc k của tiếp tuyến  k = f '(xo) = tanα (α là góc tạo bởi nhánh > 0 của d và tia ox), đạo hàm chính là tanα (là một tỉ số, nên không có đơn vị) , trong khi vi phân chính là đoạn f(x) - f(xo)
 
Nếu ta gọi M'1, M'o là hình chiếu của M và Mo trên Ox  ; M", M"o là hình chiếu của M trên Oy thì có:
M' - M'o = dx ; M" - M"o = dy
f '(xo) = k = tanα = (M"-M"o) /(M' - M'o) = dy / dx 

vi phân = dy = M" - M"o = (M'-M'o).tanα = f '(xo).dx

 Ý nghĩa hình học: đạo hàm là tanα (là tỉ số: đối trên kề), vi phân là đoạn M"M"o