Toán và Em

Thứ Năm, 2 tháng 4, 2015

Đường thẳng Simson, Đường thẳng Steiner

1. Định lý về Đường thẳng Simson

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ . Gỉa sử $S$ là một điểm nằm trên $(O)$ sao cho $S$ không trùng với ba đỉnh của tam giác. Khi đó hình chiều vuông góc $A_0,B_0,C_0$ của $S$ lần lượt trên $BC,CA,AB$ cùng nằm trên một đường thẳng. (Đường thẳng này gọi là đường thẳng $Simson$ của điểm $S$ đối với tam giác $ABC$ )

Chứng minh :

Ta có $\widehat{CB_0S}=\widehat{CA_0S}=90^{0}$ , suy ra tứ giác $A_0B_0CS$ nội tiếp, suy ra $\widehat{B_0A_0C}=\widehat{B_0SC}$ . Mặt khác vì $ABSC$ nội tiếp nên $\widehat{C_0BS}=\widehat{ACS}=\widehat{B_0CS}\Rightarrow \Delta SC_0B\sim \Delta SB_0S\;(g.g)\Rightarrow \widehat{BSC_0}=\widehat{CSB_0}\Rightarrow \widehat{BSC_0}=\widehat{B_0A_0C}$ .
Nhưng vì $A_0BC_0S$ là tứ giác nội tiếp ( $\widehat{BA_0S}=\widehat{BC_0S}=90^{0}$ ) nên $\widehat{BSC_0}=\widehat{BA_0C_0}\Rightarrow \widehat{B_0A_0C}=\widehat{BA_0C_0}$ .
Vậy $A_0,B_0,C_0$ cùng thuộc một đường thẳng.

2. Định lí về đường thẳng Steiner :
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ , điểm $S$ bất kì thuộc đường tròn sao cho $S$ không trùng với các đỉnh của tam giác. Gọi $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là điểm đối xứng với $S$ qua các đường thẳng $BC,CA,AB$ . Khi đó ba điểm $A_1,B_1,C_1$ và trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cùng nằm trên một đường thẳng (Đường thẳng này là đường thẳng $Steiner$ của điểm $S$ đối với tam giác $ABC$ .

Chứng minh:

Dễ dàng thấy $A_1,B_1,C_1$ cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường thẳng $Simson$ của điểm $S$ đối với tam giác $ABC$ .
Ta có $\widehat{AC_1B}+\widehat{AHB}=\widehat{ASB}+(180^{0}-\widehat{ACB})$ mà $\widehat{ASB}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{AC_1B}+\widehat{AHB}=180^{0}$ , suy ra $AHBC_1$ là tứ giác nội tiếp.
Từ đó $\widehat{AHC_1}=\widehat{ABC_1}=\widehat{ABS}$
Hoàn toàn tương tự, tứ giác $AHCB_1$ nội tiếp nên $\widehat{AHB_1}=\widehat{ACB_1}=\widehat{ACS}$
Lại có $\widehat{ACS}+\widehat{ABS}=180^{0}$ (tứ giác $ABSC$ nội tiếp)
Do đó $\widehat{AHB_1}+\widehat{AHC_1}=180^{0}$ , suy ra $H,B_1,C_1$ thẳng hàng.
Vậy : $A_1,B_1,C_1,H$ cùng thuộc một đường thẳng.

Theo JulietBlog

Thứ Tư, 18 tháng 2, 2015

Một cách để tính tổng $1^k+2^k+...+n^k$

Trước đây, đã có bài viết dùng Tam Giác Trung để tính tổng $1^k + 2^k + .... + n^k$. Hôm nay mình sẽ giới thiệu các bạn một phương pháp khác để tính tổng này. Thật ra dùng phương pháp Tam Giác Trung các bạn sẽ tính được nhanh hơn, tuy nhiên bài viết khá hay và giúp chúng ta mở mang tư duy nhiều hơn, biết thêm một phương pháp khác.

Bài viết này của tác giả Phan Đức Thành, đăng trong Tuyển Tập 30 Năm Toán Học Và Tuổi Trẻ.